2010-10-01 13:30:22| 分类： Differential Geo | 标签： |举报 |字号大中小 订阅
对于指标定理的学习将是我的日志里主要的论题。下边，我想整理下这方面的资料，并且希望在将来不断地来完善这篇日志。先简单介绍下指标定理的证明途径，从历史的先后顺序来看，它至少有三个纯数学的证明途径：
1、配边理论证明(这方面的详细资料很难找了，在Séminaire Henri Cartan, 16 no. 1，2, 1963-1964这两卷是用的配边方法证明，可惜是法语的看不懂。)
2、K-理论证明
3、热方程证明
其实，还有第四条证明途径!这个途径来至于物理学，使用的是supersymmetry.
先介绍一个有用的网址：Atiyah-Singer Index Theorem，关于Atiyha-Singer index Theorem网上有个非常容易理解的介绍，见PAUL LOYA'S HOME PAGE和他以前的一个课程主页：Index Theory。
我自己感觉在学习指标定理时如果能搞清楚它其后的发展脉络，那么就能比较好的选择学习的重点是什么。但是，这点并不容易做到，谈论指标定理从1960s证明到现在的发展的文章很散乱，而且涉及的方面太广，让人摸不着头绪。下边我想就自己知道的做一点归纳，希望对自己的学习能得到比较大的帮助。
对于指标定理的学习，首先当然是学习它的证明（关键是证明中的思想），然后是学习它的应用(当然，这两者其实是相互相成的，知道了如何运用它，对于理解它的证明肯定是有好处的)。下边，我只是对一些资料做点归纳：
个人觉得，学习指标定理还是从K-Theory证明开始比较好(大概是我自己的偏好)。有很多书和资料讨论这个途径的证明，下边只列举一部分：
Handbook Of Global Analysis by Demeter Krupka, David Saunders 这本书里讲述指标定理的那部分是很好的学习资料。
K-theory and elliptic operators by Gregory D. Landweber 是一篇介绍K-Theory证明途径的好文章，基本是按照The Index of Elliptic Operators I 来展开的。
当然，Atiyah and Singer 的系列论文 The Index of Elliptic Operators 也是学习的经典材料。
还有比较新的K-Theory证明是 On the K-theory proof of the index theorem by Nigel Higson 这在它的主页上可以找到。关于这个证明Alan L. T. Paterson给过一些评论可以看Asymptotic morphisms and the families index theorem (里边还谈到了指标定理的一些发展)
还有本名著就是Spin Geometry by Lawson H.B., Michelsohn M.-L.
关于指标定理的热核证明途径，也有很多的书讨论，这还涉及到local index theorem 。对于Atiyha-Singer index Theorem的学习可以从local index theorem开始，这样就需要具备一定的分析学知识，从这里也可以体会到对分析学的学习对于研习几何是非常重要的。针对Atiyha-Singer index Theorem的学习来说，算子理论和偏微分方程的一些知识是非常重要的，非常有帮助的。这方面最著名的书可能就是Heat kernels and Dirac operators by Berline N., Getzler E., Vergne M. 然后还有Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Theorem by P.B.Gilkey，当然还有一些书，这里就不列举了。还有一些网上的资料是很有参考价值的：
1、The Atiyah-Singer index theorem (Spring 2009) (Notes on a course by Jean-Michel Bismut)
2、The heat equation and the Atiyah-Singer index theorem by Gregory D. Landweber(在其主页上可以找到这篇文章)
3、Notes on the Atiyah-Singer index theorem by Liviu I. Nicolaescu(可以在其主页上找到)
4、Lecture Notes on the Atiyah-Singer Index Theorem by ANTONY WASSERMANN
5、The Atiyah-Singer Index Theorem: A Heat Kernel (PDE’s) Proof by Luiz C.L. Botelho
6、A new short proof of the local index formula and some of its applications by R.Ponge
7、Seminar on the Atiyah-Singer Index Theorem
最后， ABP的经典论文 On the Heat Equation and the Index Theorem 也是必须要提到的重要资料。
还有一个资料想提一下， 俄国的(准确的说应该是前苏联)Encyclopedia Math.Sci.这个系列(后来基本都翻译成了英文由Springer出版)的第65卷，即，偏微分方程的第八卷，里边有 B.V.Fedosov 的文章“Index Theorems”，其中除了论述了指标定理之外还谈到了一些其后的发展，特别是他本人做的指标定理与形变量子化的关系(其后他也写过这个论题的专著)。
指标定理还存在物理学上的证明(这里主要指使用超对称和路径积分的证明)。这方面的东西在侯伯元，侯伯宇的《物理学家用微分几何》这本书里能找到一些论述(书中运用sigma-model给出了一个Gauss-Bonnet-Chern定理的证明)。 想了解SUSY的证明，最好对SUSY有一个初步的了解，arxiv上有很多关于这方面的介绍文章，这里帖一个其他的 Introduction to Supersymmetry at the NLC by David Wagner 以及 Introduction to Supersymmetry，路径积分现在看不懂，不过从形式上看对现在算的东西好象有帮助，什么是重整化？
对于指标定理的运用，一个最有名的例子我想应该是用指标定理研究物理学里的 Anomalies，对这个东西还有待继续学习。
指标定理和非交换几何的联系可以在 Nigel Higson 的主页上看到一些材料
指标定理与椭圆上同调的联系网上也有一些资料可查到 Elliptic Cohomology
指标定理与谱几何的联系似乎已经有比较长的历史了
指标定理与量子化的联系似乎也比较久了。
Intermediate Geometry/Topology
指标定理是在不断的发展和推广中的，见Atiyah–Singer index theorem
从物理解读来理解指标定理需要理解supersymmetry，那么先从Linear/Non-linear sigma model开始。
Why is the harmonic oscillator so important? (pure viewpoint sought).
有用的学习资料：
2、M392C: Atiyah-Singer Index Theorem
3、Atiyah-Singer index theorem（Climbing Mount Bourbaki 博客上的内容）
4、指标定理 (博客Fight with Infinity上的系列文章)
6、de Rham-Hodge-Signature算子的局部指标定理
8、The Heat Kernel Approach to the Atiyah–Singer Index Theorem
MathOverflow上的讨论：
2、What do heat kernels have to do with the Riemann-Roch theorem and the Gauss-Bonnet theorem?
Atiyha-Singer指标定理的一点八卦
整体的Atiyha-Singer index Theorem给出了椭圆算子的Fredholm index的上同调解释。而作为特殊的椭圆算子的Dirac operator才包含了其几何实质，这时，Dirac operator的指标是由一个local geometric formula给出。我们都知道，Dirac operator是Laplacian的平方根，那么自然几何信息被包含在其中就好理解了。针对Dirac operator的指标公式被称为——local index theorem（应该是相对一般的椭圆算子的整体结果来说的）。 自然，从整体的Atiyha-Singer index Theorem可以得到local index theorem；同时local index theorem也可以得到整体的Atiyha-Singer index Theorem，即它们是等价的。那么，人们就想越过整体的Atiyha-Singer index Theorem去证明local index theorem。第一个成功的证明是Patodi,Gilkey,Atiyah-Bott-Patodi通过运用invariant theory得到的。后来，Getzler和Bismut分别给出了纯解析的证明，这引导出了很多local index formula的推广。我国著名数学家虞言林教授在八十年代也给出了local index theorem的一个证明。指标定理其后的发展深受物理学的影响，出现了运用supersymmetry的证明。
参考文献：
1、R.Ponge, A new short proof of the local index formula and some of its applications
2、D.Freed, Geometry of Dirac operators
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